Question

2．把下列復(fù)數(shù)化為指數(shù)形式和極坐標(biāo)形式．
（1）$\sqrt{2}+\sqrt{2}$i；
（2）-2+2i；
（3）1+i；
（4）-i．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，把復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示為極坐標(biāo)形式和指數(shù)形式即可．

解答 解：（1）∵$\sqrt{2}+\sqrt{2}$i對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴$ρ=\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=2$．
∵$tanθ=\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$，
∴$θ=\frac{π}{4}$；
∴$\sqrt{2}+\sqrt{2}$i的極坐標(biāo)形式為：（2，$\frac{π}{4}$）；
指數(shù)形式為：2${e}^{i\frac{π}{4}}$；
（2）-2+2i對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（-2，2），
ρ=$\sqrt{{（-2）}^{2}{+2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
tanθ=$\frac{2}{-2}$=-1，θ=$\frac{3π}{4}$；
∴-2+2i的極坐標(biāo)形式為：（2$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），
指數(shù)形式為：2$\sqrt{2}$${e}^{i\frac{3π}{4}}$；
（3）1+i對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（1，1），
ρ=$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
tanθ=1，∴θ=$\frac{π}{4}$；
∴1+i的極坐標(biāo)形式為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
指數(shù)形式為$\sqrt{2}$${e}^{i\frac{π}{4}}$；
（4）-i對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（0，-1），
ρ=1，θ=$\frac{3π}{2}$；
∴-i對(duì)應(yīng)極坐標(biāo)形式為（1，$\frac{3π}{2}$），
指數(shù)形式為：${e}^{i\frac{3π}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)三種形式的互化問題，是基礎(chǔ)題．