Question

4．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點(diǎn)為F（c，0）且a＞b＞c＞0，設(shè)短軸的兩端點(diǎn)為D，H，原點(diǎn)O到直線(xiàn)DF的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過(guò)原點(diǎn)和x軸不重合的直線(xiàn)與橢圓E相交于C，G兩點(diǎn)，且|$\overrightarrow{GF}$|+|$\overrightarrow{CF}$|=4．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（0，1）的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓E交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)λ，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$為定值？求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的定義，則a=2，由bc=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²=4，由a＞b＞c＞0，即可求得b和c的值，即可求得橢圓方程；
（2）當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+1，代入橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出定值．當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$+2$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-3-4=-7成立．

解答 解：（1）由橢圓的定義及對(duì)稱(chēng)性可知：|$\overrightarrow{GF}$|+|$\overrightarrow{CF}$|=4．則2a=4，a=2，
由題意，O到直線(xiàn)DF的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則$\frac{bc}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則bc=$\sqrt{3}$，
又a²=b²+c²=4，由a＞b＞c＞0，則b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+1，
A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+8kx-8=0．
其判別式△＞0，
x₁+x₂=-$\frac{8k}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=-$\frac{8}{4{k}^{2}+3}$．
從而$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x₁x₂+y₁y₂+λ[x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）]，
=（1+λ）（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=$\frac{-8（1+λ）（1+{k}^{2}）-4{k}^{2}+3}{4{k}^{2}+3}$=$\frac{4-2λ}{4{k}^{2}+3}$-2λ-3，
當(dāng)λ=2時(shí)，$\frac{4-2λ}{4{k}^{2}+3}$-2λ-3=-7，
即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-7為定值．
當(dāng)直線(xiàn)AB斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)AB即為直線(xiàn)CD，
此時(shí)$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$+2$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-3-4=-7，
故存在常數(shù)λ=2，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$為定值-7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．