Question

14．某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代號(hào)t	1	2	3	4	5	6	7
人均純收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（1）求y關(guān)于t的線(xiàn)性回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入．
可用公式：$\widehat$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n（\overline x{）^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x{）^2}}}}$，$\widehat{a}$=$\overline y$-$\widehat$$\overline x$．

Answer 1

分析 （1）由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得平均數(shù)$\overline{t}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)$\widehat$、$\widehat{a}$，即可寫(xiě)出回歸直線(xiàn)方程；
（2）根據(jù)回歸系數(shù)$\stackrel{∧}$=0.5＞0，判斷該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加；將2015年的年份代號(hào)t=9代入回歸方程計(jì)算$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得$\overline{t}$=$\frac{1}{7}$（1+2+3+4+5+6+7）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
計(jì)算回歸系數(shù)
$\widehat$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n（\overline x{）^2}}}}$
=$\frac{（1×2.9+2×3.3+…+7×5.9）-7×4×4.3}{{（1}^{2}+{2}^{2}+…{+7}^{2}）-7{×4}^{2}}$=0.5，
$\widehat{a}$=$\overline y$-$\widehat$$\overline x$=4.3-0.5×4=2.3，
所求回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.5t+2.3；…（6分）
（2）由（1）知，$\stackrel{∧}$=0.5＞0，
故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，…（8分）
將2015年的年份代號(hào)t=9代入（1）中的回歸方程，得$\stackrel{∧}{y}$=0.5×9+2.3=6.8；…（11分）
故預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收人為6.8千元．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)性回歸方程的求法與應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．