Question

19．已知a≥$\frac{4}{3}$${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}$cosθdθ，則曲線f（x）=ax+$\frac{2}{a}$ln（ax-1）在點(diǎn)（2，f（2））處切線的斜率的最小值為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 求解定積分得到a值，代入函數(shù)解析式，求其導(dǎo)函數(shù)，取x=2即可得到曲線y=ax²在x=2處切線的斜率，運(yùn)用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：a≥$\frac{4}{3}$${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}$cosθdθ=$\frac{4}{3}$•sinθ|${\;}_{0}^{\frac{π}{6}}$=$\frac{4}{3}$×（sin$\frac{π}{6}$-sin0）=$\frac{2}{3}$，
可得a-$\frac{1}{2}$≥$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
f（x）=ax+$\frac{2}{a}$ln（ax-1）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a+$\frac{2}{a}$•a•$\frac{1}{ax-1}$=a+$\frac{2}{ax-1}$，
在點(diǎn)（2，f（2））處切線的斜率為k=a+$\frac{2}{2a-1}$=（a-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{a-\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{2}$
≥2$\sqrt{（a-\frac{1}{2}）•\frac{1}{a-\frac{1}{2}}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時(shí)，取得最小值$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了定積分，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，在曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，考查基本不等式的運(yùn)用，是中檔題．