Question

14．已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，沿對角線AE將△FAE的頂點(diǎn)F翻折到點(diǎn)P處，使得$PC=\sqrt{10}$．
（1）求證：平面PAE⊥平面ABCDE；
（2）求二面角B-PC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，EC，取AE中點(diǎn)O，連結(jié)PO，CO，推導(dǎo)出PO⊥AE，CO⊥AE，則∠POC是二面角P-AE-C的二面角，求出PO⊥CO，由此能證明平面PAE⊥平面ABCDE．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的平面角的余弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)AC，EC，取AE中點(diǎn)O，連結(jié)PO，CO，
由已知得PE=PA=2，AE=AC=EC=$\sqrt{4+4-2×2×2×cos120°}$=$2\sqrt{3}$，
∴PO⊥AE，CO⊥AE，∴∠POC是二面角P-AE-C的二面角，
∴PO=$\sqrt{4-3}$=1，CO=$\sqrt{12-3}$=3，∴PO²+CO²=PC²，
∴PO⊥CO，∴∠POC=90°，∴平面PAE⊥平面ABCDE．
解：（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
P（0，0，1），C（0，3，0），B（$\sqrt{3}$，2，0），D（-$\sqrt{3}$，2，0），
$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{3}，2，-1$），$\overrightarrow{PC}$=（0，3，-1），$\overrightarrow{PD}$=（-$\sqrt{3}，2，-1$），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}x+2y-z=0}\\{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}=3y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$），
設(shè)平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{m}=3b-c=0}\\{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{m}=-\sqrt{3}a+2b-c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，3），
設(shè)二面角B-PC-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{29\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{31}•\sqrt{\frac{31}{3}}}$=$\frac{29}{31}$．
∴二面角B-PC-D的平面角的余弦值為$\frac{29}{31}$．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．