Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和${S_n}={n^2}+kn$，其中k為常數(shù)，a₆=13．
（1）求k的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若${b_n}=\frac{2}{{n（{a_n}+1）}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）${S_n}={n^2}+kn$，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．n=6時(shí)，a₆=13，解得k．進(jìn)而得出．
（2）${b_n}=\frac{2}{{n（{a_n}+1）}}$=$\frac{2}{n（2n+2）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵${S_n}={n^2}+kn$，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+kn-[（n-1）²+k（n-1）]=2n-1+k．
∴n=6時(shí)，a₆=11+k=13，解得k=2．
∴n≥2時(shí)，a_n=2n-1+2=2n+1．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1+2=3，上式也成立．
∴a_n=2n+1．
（2）${b_n}=\frac{2}{{n（{a_n}+1）}}$=$\frac{2}{n（2n+2）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．