Question

10．?dāng)?shù)列{a_n}中，若${a_1}=1，{a_{n+1}}=\frac{n}{n+1}{a_n}$，則a_n=$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，通過(guò)累積法，求解數(shù)列的通項(xiàng)公式即可．

解答 解：數(shù)列{a_n}中，若${a_1}=1，{a_{n+1}}=\frac{n}{n+1}{a_n}$，
可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n}$，
可得：$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，
$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，
$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{3}{4}$，
…
得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n}$，
累積可得
a_n=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{n-1}{n}•{a}_{1}$=$\frac{1}{n}$．
故答案為：$\frac{1}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算能力．