Question

1．雙曲線Γ的兩焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若在雙曲線Γ上存在點P，使△F₁PF₂為頂角為120°的等腰三角形，則雙曲線Γ的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$+1
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• D． $\sqrt{5}$-1

Answer 1

分析 由題可知，等腰三角形的底為PF₁，等腰三角形的腰F₁F₂=PF₂=2c，可得P的坐標，代入雙曲線方程，進而計算可得結(jié)論．

解答 解：由題雙曲線Γ的兩焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若在雙曲線Γ上存在點P，使△F₁PF₂為頂角為120°的等腰三角形，
不妨等腰三角形的底為PF₁，等腰三角形的腰F₁F₂=PF₂=2c，經(jīng)過F₂的直線與雙曲線的交點為p，直線的斜率為：$\sqrt{3}$
∴P（2c，$\sqrt{3}$c）
代入雙曲線方程可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{^{2}}$=1，
∴4e⁴-8e²+1=0，
∴e=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查求雙曲線的離心率，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．