Question

3．已知等比數列{a_n}中，a₁=64，公比q≠1，a₂，a₃，a₄又分別是某個等差數列的第7項，第3項，第1項．
（1）求a_n；
（2）設b_n=log₂a_n，求數列{|b_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用等差數列的通項公式和等比數列的通項公式，可得公比的方程，求得q，進而得到a_n；
（2）求得b_n=log₂2^7-n=7-n，設數列{b_n}的前n項和S_n，運用等差數列的求和公式可得S_n，討論當1≤n≤7時，前n項和T_n=S_n；當n≥8時，a_n＜0，則前n項和T_n=-（S_n-S₇）+S₇=2S₇-S_n，計算即可得到所求和．

解答 解：（1）等比數列{a_n}中，a₁=64，公比q≠1，
a₂，a₃，a₄又分別是某個等差數列的第7項，第3項，第1項，
可得a₂-a₃=4d，a₃-a₄=2d，（d為某個等差數列的公差），
即有a₂-a₃=2（a₃-a₄），
即a₂-3a₃+2a₄=0，
即為a₁q-3a₁q²+2a₁q³=0，
即有1-3q+2q²=0，
解得q=$\frac{1}{2}$（1舍去），
則a_n=a₁q^n-1=64•（$\frac{1}{2}$）^n-1=2^7-n；
（2）b_n=log₂a_n=log₂2^7-n=7-n，
設數列{b_n}的前n項和S_n，
S_n=$\frac{1}{2}$（6+7-n）n=$\frac{1}{2}$n（13-n），
當1≤n≤7時，前n項和T_n=S_n=$\frac{1}{2}$n（13-n）；
當n≥8時，a_n＜0，則前n項和T_n=-（S_n-S₇）+S₇=2S₇-S_n=2×$\frac{1}{2}$×7×6-$\frac{1}{2}$n（13-n）
=$\frac{1}{2}$（n²-13n+84），
則前n項和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（13n-{n}^{2}），1≤n≤7}\\{\frac{1}{2}（{n}^{2}-13n+84），n≥8}\end{array}\right.$．

點評 本題考查等差數列和等比數列的通項公式和求和公式的運用，注意數列中的項的符號，考查運算能力，屬于中檔題．