【題目】是定義在上的函數(shù),若存在,使得單調遞增,在上單調遞減,則稱上的單峰函數(shù),為峰點,包含峰點的區(qū)間稱為含峰區(qū)間,其含峰區(qū)間的長度為:

(1)判斷下列函數(shù)中,哪些是“上的單峰函數(shù)”?若是,指出峰點;若不是,說出原因;;

(2)若函數(shù)上的單峰函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;

(3)若函數(shù)是區(qū)間上的單峰函數(shù),證明:對于任意的,若,則為含峰區(qū)間;若,則為含峰區(qū)間;試問當滿足何種條件時,所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.6.

【答案】(1)見解析(2)(3)證明見解析;

【解析】

1)畫出四個函數(shù)圖像,根據(jù)圖像集合單峰函數(shù)的定義進行判斷.

2)利用的導函數(shù)的零點在區(qū)間列不等式,解不等式求得的取值范圍.

3)分成、兩種情況進行分類討論,利用反證法證得結論成立.根據(jù)含峰區(qū)間的長度的概念列不等式,由此確定滿足的條件.

1)①圖像如下圖所示,其對稱軸為,由圖可知,上的單峰函數(shù),峰點為;

的圖像如下圖所示,其對稱軸為,由圖可知,上的單峰函數(shù),峰點為;

的圖像如下圖所示,根據(jù)圖像可知,不是上的單峰函數(shù);

的圖像如下圖所示,其對稱軸為,由圖可知,上的單峰函數(shù),峰點為.

2)函數(shù)上的單峰函數(shù),令,解得,故時,遞增,時,遞減,所以,解得,故的取值范圍是.

(3)設的峰點,則由單峰函數(shù)定義可知,上遞增,在上遞減.

時,假設,則,從而,與矛盾,所以,即是含峰區(qū)間.

時,假設,則,從而,與矛盾,所以,即是含峰區(qū)間.

在所得的含峰區(qū)間內選取,由,確定一個新的含峰區(qū)間,對先選擇的,,①,在第一次確定的含峰區(qū)間為的情況下,的取值應滿足②,由①②可得,當時,含峰區(qū)間的長度為.

由條件,得,從而.因此確定的含峰區(qū)間的長度不大于,只要取.

練習冊系列答案
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附: , .

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