Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}$=1和C₂：x²+$\frac{y^2}{9}$=1．P為C₁上的動(dòng)點(diǎn)，Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，w是$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的最大值．記Ω={（P，Q）|P在C₁上，Q在C₂上，且$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=w}，則Ω中元素個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 2個(gè)
• B． 4個(gè)
• C． 8個(gè)
• D． 無窮個(gè)

Answer 1

分析 設(shè)出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩角差的余弦公式和余弦函數(shù)的值域，可得最大值及取得的條件，即可判斷所求元素的個(gè)數(shù)．

解答 解：橢圓C₁：$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}$=1和C₂：x²+$\frac{y^2}{9}$=1．P為C₁上的動(dòng)點(diǎn)，Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，
可設(shè)P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，
則$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α-β），
當(dāng)α-β=2kπ，k∈Z時(shí)，w取得最大值6，
則Ω={（P，Q）|P在C₁上，Q在C₂上，且$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=w}中的元素有無窮多對．
另解：令P（m，n），Q（u，v），則m²+9n²=36，9u²+v²=9，
由柯西不等式（m²+9n²）（9u²+v²）=324≥（3mu+3nv）²，
當(dāng)且僅當(dāng)mv=nu，即O、P、Q共線時(shí)，取得最大值6，
顯然，滿足條件的P、Q有無窮多對，D項(xiàng)正確．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的參數(shù)方程的運(yùn)用，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和余弦函數(shù)的值域，考查集合的幾何意義，屬于中檔題．