【題目】已知， ．

（1）求 的值；

（2）試猜想的表達式（用一個組合數(shù)表示），并證明你的猜想．

【答案】（1）1，3，10；（2）=

【解析】試題分析：（1）代入，根據(jù)組合數(shù)依次求出 的值；（2）根據(jù)數(shù)值猜想=，利用倒序相加法可求出的表達式

試題解析：解：（1）由條件， ①，

在①中令，得．

在①中令，得，得．

在①中令，得，得．

（2）猜想=（或=）．

欲證猜想成立，只要證等式成立．

方法一：當(dāng)時，等式顯然成立，

當(dāng)時，因為，

故．

故只需證明．

即證．

而，故即證 ②．

由等式可得，左邊的系數(shù)為．

而右邊 ，

所以的系數(shù)為．

由恒成立可得②成立.

綜上， 成立.

方法二：構(gòu)造一個組合模型，一個袋中裝有個小球，其中n個是編號為1，2，…，n的白球，其余n－1個是編號為1，2，…，n－1的黑球，現(xiàn)從袋中任意摸出n個小球，一方面，由分步計數(shù)原理其中含有個黑球（個白球）的n個小球的組合的個數(shù)為， ，由分類計數(shù)原理有從袋中任意摸出n個小球的組合的總數(shù)為．

另一方面，從袋中個小球中任意摸出n個小球的組合的個數(shù)為．

故，即②成立. 余下同方法一.

方法三：由二項式定理，得 ③．

兩邊求導(dǎo)，得 ④．

③×④，

得 ⑤．

左邊的系數(shù)為．

右邊的系數(shù)為

．

由⑤恒成立，可得．

故成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性與奇偶性；

(2)是否存在實數(shù)t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知曲線，曲線的左右焦點是， ，且就是的焦點，點是與的在第一象限內(nèi)的公共點且，過的直線分別與曲線、交于點和．

（Ⅰ）求點的坐標(biāo)及的方程；

（Ⅱ）若與面積分別是、，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為自然對數(shù)的底數(shù), ).

(1)設(shè)為的導(dǎo)函數(shù),證明:當(dāng)時, 的最小值小于0;

(2)若恒成立,求符合條件的最小整數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元．設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且.

（1）寫出年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；

（2）年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得利潤最大？（注：年利潤=年銷售收入﹣年總成本）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2017年4月1日,新華通訊社發(fā)布:國務(wù)院決定設(shè)立河北雄安新區(qū).消息一出,河北省雄縣、容城、安新3縣及周邊部分區(qū)域迅速成為海內(nèi)外高度關(guān)注的焦點.

(1)為了響應(yīng)國家號召,北京市某高校立即在所屬的8個學(xué)院的教職員工中作了“是否愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)”的問卷調(diào)查,8個學(xué)院的調(diào)查人數(shù)及統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:

調(diào)查人數(shù)()

10

20

30

40

50

60

70

80

愿意整體搬遷人數(shù)()

8

17

25

31

39

47

55

66

請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出變量關(guān)于變量的線性回歸方程保留小數(shù)點后兩位有效數(shù)字);若該校共有教職員工2500人,請預(yù)測該校愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)的人數(shù);

(2)若該校的8位院長中有5位院長愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū),現(xiàn)該校擬在這8位院長中隨機選取4位院長組成考察團赴雄安新區(qū)進行實地考察,記為考察團中愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)的院長人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考公式及數(shù)據(jù): .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為極點， 軸正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知曲線，直線.

（1）將曲線上所有點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的2倍、倍后得到曲線，請寫出直線，和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線經(jīng)過點且， 與曲線交于點，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】袋中有大小相同的3個紅球和2個白球,現(xiàn)從袋中每次取出一個球,若取出的是紅球，則放回袋中,繼續(xù)取一個球,若取出的是白球,則不放回,再從袋中取一球,直到取出兩個白球或者取球5次,則停止取球,設(shè)取球次數(shù)為,

(1)求取球3次則停止取球的概率;

(2)求隨機變量的分布列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】用C(A)表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B＝若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，設(shè)實數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則C(S)等于(　　)

A. 1 B. 3

C. 5 D. 7

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