Question

13．在四邊形ABCD中，對角線AC，BD垂直相交于點(diǎn)O，且OA=OB=OD=4，OC=3．
將△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E-BD-A的大小為90°（如圖）．已知Q為EO的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且$AP=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）證明：直線PQ∥平面ADE；
（Ⅱ）求直線BD與平面ADE所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，可得平面PQR∥平面ADE，即可證明：直線PQ∥平面ADE；
（Ⅱ）由等體積法可得點(diǎn)O到平面ADE的距離，即可求直線BD與平面ADE所成角θ的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，取OD的中點(diǎn)R，連接PR，QR，則DE∥RQ，
由題知$AB=4\sqrt{2}$，又$AP=\sqrt{2}$，故AB：AP=4：1=DB：DR，因此AD∥PR，
因?yàn)镻R，RQ?平面ADE，
且AD，DE?平面ADE，故PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，
又PR∩RQ=R，
故平面PQR∥平面ADE，從而PQ∥平面ADE．…6分
（Ⅱ）解：由題EA=ED=5，$AD=4\sqrt{2}$，設(shè)點(diǎn)O到平面ADE的距離為d，
則由等體積法可得$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•4\sqrt{2}$$•\sqrt{25-8}•d=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•4•4•3$，
故$d=\frac{{6\sqrt{34}}}{17}$，因此$sinθ=\frac6j1hk7p{OD}=\frac{3}{34}\sqrt{34}$．…12分．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的判定，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．