Question

設(shè)向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），x∈R，函數(shù)f（x）=

a

•

b

+1，使不等式f（x）≥

3

2

成立的x的取值集合為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二倍角的正弦和余弦公式及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)f（x），再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到不等式的解集．

解答： 解：由于向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），x∈R，
則函數(shù)f（x）=

a

•

b

+1=sinxcosx+cos²x+1=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

+1
=

2

2

（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）+

3

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

，
則不等式f（x）≥

3

2

即為sin（2x+

π

4

）≥0，
即有2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π，解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，（k∈Z），
即所求x的取值集合為{x|kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

}（k∈Z）．
故答案為：{x|kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

}（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，主要考查三角函數(shù)的恒等變換以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．