Question

已知各項均為正數的數列{a_n}滿足：a²_n+1=ta²_n+（t-1）a_na_n+1，其中n∈N^*（1）若a₂-a₁=8，a₃=a且數列{a_n}是唯一的．
①求a的值
②設數列{b_n}滿足b_n=

nan

4(2n+1)2n

，是否存在正整數m、n（1＜m＜n），使得b₁、b_m、b_n成等比數列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列遞推式,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：①a²_n+1=ta²_n+（t-1）a_na_n+1，因式分解為（a_n+1+a_n）（a_n+1-ta_n）=0，由于數列{a_n}是各項均為正數的數列，可得a_n+1=ta_n．數列{a_n}是等比數列，公比為t．
利用a₂-a₁=8，a₃=a且數列{a_n}是唯一的．可得8t²-at+a=0，令△=0，（a≠0），即可解出．
②由①可得：an=a3•tn-3=2ⁿ⁺²．b_n=

n

2n+1

，假設存在正整數m、n（1＜m＜n），使得b₁、b_m、b_n成等比數列，則

b

2 m

=b1•bn，即(

m

2m+1

)2=

1

3

×

n

2n+1

，解出即可．

解答： 解：①∵a²_n+1=ta²_n+（t-1）a_na_n+1，∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-ta_n）=0，
∵數列{a_n}是各項均為正數的數列，∴a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1=ta_n．
∴數列{a_n}是等比數列，公比為t．
∵a₂-a₁=8，a₃=a且數列{a_n}是唯一的．
∴ta₁-a₁=8，a=t²a₁，
化為8t²-at+a=0，
令△=a²-32a=0，（a≠0），
解得a=32．此時t=2．
②由①可得：an=a3•tn-3=32×2^n-3=2ⁿ⁺²．
∴b_n=

nan

4(2n+1)2n

=

n

2n+1

，
假設存在正整數m、n（1＜m＜n），使得b₁、b_m、b_n成等比數列，
則

b

2 m

=b1•bn，
∴(

m

2m+1

)2=

1

3

×

n

2n+1

，
化為6+

3

n

=(2+

1

m

)2，
當m=2時，解得n=12，滿足題意，因此m=2，n=12．
當n≥3時，右邊≤(2+

1

3

)2=

49

9

，∴6+

3

n

≤

49

9

，解得n＜0，不符合題意，舍去．
因此存在唯一一對正整數m=2，n=12（1＜m＜n），使得b₁、b_m、b_n成等比數列．

點評：本題考查了等比數列的定義及其通項公式、整數的性質，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．