Question

5．如圖，已知D點在⊙O直徑BC的延長線上，DA切⊙O于A點，DE是∠ADB的平分線，交AC于F點，交AB于E點．
（1）求證：AE=AF；
（2）若AB=AD，求$\frac{AD}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用弦切角定理、角平分線的性質證明∠AEF=∠AFE，即可證明AE=AF；
（2）證明△ACD∽△BAD，根據三角形相似的性質可得$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{AB}$，又由AB=AD，可得AD：BD=tanB，求出B角大小后，即可得到答案．

解答 （1）證明：因為AD為⊙O的切線，所以∠B=∠DAC，
又因為DE是∠ADB的平分線，所以∠ADE=∠EDB，
所以∠DAC+∠ADE=∠B+∠EDB，
即∠AEF=∠AFE，
所以AE=AF；
（2）解：∵∠B=∠DAC，∠ADB=∠CDA，
∴△ACD～△BAD，∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{AB}$，
∵AB=AD，∴∠B=∠ADB=∠DAC，而∠BAC=90°，∴∠B=∠ADB=30°，
在△BAC中，∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{AB}=tan30°=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查的知識點是弦切角，三角形相似的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．