Question

3．已知a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，若關(guān)于x的不等式x²-ax+1≤0有且只有一個解，且$（a+b）（sinA-sinB）=（sinC-\sqrt{3}sinB）c$，則△ABC面積的最大值為2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由條件可求a，利用正弦定理可得b²+c²-$\sqrt{3}$bc=a²，利用余弦定理可求A，再利用基本不等式可得bc≤8+4$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號，從而求得它的面積的最大值．

解答 解：∵關(guān)于x的不等式x²-ax+1≤0有且只有一個解，
∴△=a²-4=0，
∴a=2或a=-2（舍去），
∵△ABC中，（a+b）（sinA-sinB）=（sinC-$\sqrt{3}$sinB）c，
∴利用正弦定理可得（a+b）（a-b）=（c-$\sqrt{3}$b）c，即 b²+c²-$\sqrt{3}$bc=a²．
∴由余弦定理可得cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由A∈（0，π），可得A=$\frac{π}{6}$，
∴再利用基本不等式可得 a²≥2bc-$\sqrt{3}$bc，則（2-$\sqrt{3}$）bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，取等號，
解得：bc≤8+4$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×$（8+4$\sqrt{3}$）×$\frac{1}{2}$=2+$\sqrt{3}$，即△ABC面積的最大值為2+$\sqrt{3}$．
故答案為：2+$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．