Question

7．已知拋物線G：x²=2py（p＞0），直線y=k（x-1）+2與拋物線G相交A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），過(guò)A，B點(diǎn)分別作拋物線G的切線L₁，L₂，兩切線L₁，L₂相交H（x，y），
（1）若k=1，有 L₁⊥L₂，求拋物線G的方程；
（2）若p=2，△ABH的面積為S₁，直線AB與拋物線G圍成封閉圖形的面積為S₂，證明：$\frac{S_1}{S_2}$為定值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，再將直線y=x+1代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，解方程可得p的值，進(jìn)而得到拋物線的方程；
（2）將直線y=k（x-1）+2代入拋物線方程x²=4y，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，求得|AB|，再由切線的方程求出交點(diǎn)H的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合三角形的面積公式可得S₁，再由直線AB與拋物線G圍成封閉圖形的面積為S₂=${∫}_{{x}_{1}}^{{x}_{2}}$[k（x-1）+2-$\frac{1}{4}$x²]dx，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到面積的比值為定值．

解答 解：（1）x²=2py（p＞0），即y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$，
導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{x}{p}$，切線L₁，L₂的斜率分別為$\frac{{x}_{1}}{p}$，$\frac{{x}_{2}}{p}$，
 L₁⊥L₂，可得$\frac{{x}_{1}}{p}$•$\frac{{x}_{2}}{p}$=-1，
聯(lián)立直線y=x+1和x²=2py（p＞0），
可得x²-2px-2p=0，即有x₁x₂=-2p，
即有-p²=-2p，解得p=2，
則拋物線G的方程為x²=4y；
（2）證明：將直線y=k（x-1）+2代入拋物線方程x²=4y，
可得x²-4kx+4k-8=0，
即有x₁+x₂=4k，x₁x₂=4k-8，
x₁＜x₂，可得x₂-x₁=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{16{k}^{2}-16k+32}$=4$\sqrt{{k}^{2}-k+2}$．
拋物線的方程為y=$\frac{1}{4}$x²，求導(dǎo)得y′=$\frac{1}{2}$x，
過(guò)拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），y-y₂=$\frac{1}{2}$x₂（x-x₂），
即y=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}$x₁²，y=$\frac{1}{2}$x₂x-$\frac{1}{4}$x₂²，
解得兩條切線l₁、l₂的交點(diǎn)H的坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$），即H（2k，k-2）．
可得H到直線y=k（x-1）+2的距離為d=$\frac{|k（2k-1）+2-k+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2（{k}^{2}-k+2）}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₂-x₁|=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{{k}^{2}-k+2}$．
可得△ABH的面積為S₁=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$•$\frac{2（{k}^{2}-k+2）}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•4$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{{k}^{2}-k+2}$
=4（k²-k+2）•$\sqrt{{k}^{2}-k+2}$．
直線AB與拋物線G圍成封閉圖形的面積為S₂=${∫}_{{x}_{1}}^{{x}_{2}}$[k（x-1）+2-$\frac{1}{4}$x²]dx
=[$\frac{1}{2}$kx²+（2-k）x-$\frac{1}{12}$x³]|${\;}_{{x}_{1}}^{{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$k（x₂-x₁）（x₂+x₁）+（2-k）（x₂-x₁）-$\frac{1}{12}$（x₂-x₁）[（x₂+x₁）²-x₁x₂]
=（x₂-x₁）[2k²+2-k-$\frac{1}{12}$（16k²-4k+8）]=4$\sqrt{{k}^{2}-k+2}$•$\frac{2}{3}$（k²-k+2）=$\frac{8}{3}$（k²-k+2）•$\sqrt{{k}^{2}-k+2}$．
則$\frac{S_1}{S_2}$為定值$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，注意運(yùn)用聯(lián)立方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)用定積分求不規(guī)則圖形的面積，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，是一道綜合題．