Question

15．已知如圖：三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱均相等，AA₁⊥平面ABC，E為AA₁的中點．
（1）求證：平面BC₁E⊥平面BCC₁B₁；
（2）求二面角C₁-BE-A₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接CB₁交BC₁于點O，連接EC，EB₁，推導(dǎo)出EO⊥CB₁，EO⊥BC₁，從而EO⊥平面BCC₁B₁，由此能證明平面EBC₁⊥平面BCC₁B₁．
（2）由EO、BC₁、CB₁兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，令棱長為2a，利用向量法能求出二面角C₁-BE-A₁的余弦值．

解答 證明：（1）如圖1，連接CB₁交BC₁于點O，則O為CB₁與BC₁的中點，
連接EC，EB₁ 依題意有；EB=EC₁=EC=EB₁ …（2分）
∴EO⊥CB₁，EO⊥BC₁，
∴EO⊥平面BCC₁B₁，OE⊆平面BC₁E
∴平面EBC₁⊥平面BCC₁B₁．…（5分）
解：（2）如圖2，由（1）知EO⊥CB₁，EO⊥BC₁，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱均相等，
∴BC₁⊥CB₁，即EO、BC₁、CB₁兩兩互相垂直，
∴可建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，令棱長為2a，
則$C（\sqrt{2}a，0，0）$，$B（0，-\sqrt{2}a，0）$，${B_1}（-\sqrt{2}a，0，0）$，$E（0，0，\sqrt{3}a）$，…（7分）
$\overrightarrow{BE}$=（0，$\sqrt{2}a$，$\sqrt{3}a$），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（-$\sqrt{2}a$，$\sqrt{2}a$，0），
依題意得向量$\overrightarrow{OC}=（\sqrt{2}a，0，0）$為平面C₁BE的一個法向量，
令平面BEA₁的一個法向量為$\vec n=（e，f，g）$，
則$\left\{{\begin{array}{l}{\vec n•\overrightarrow{BE}=0}\\{\vec n•\overrightarrow{B{B_1}}=0}\end{array}}\right.$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{2}a•f+\sqrt{3}a•g=0}\\{-\sqrt{2}a•e+\sqrt{2}a•f=0}\end{array}}\right.$，設(shè)f=1，則$e=1，g=-\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，∴$\vec n=（1，1，-\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$，…（10分）
令二面角C₁-BE-A₁的平面角為θ
則$cosθ=|{\frac{{\vec n•\overrightarrow{OC}}}{{|{\vec n}|•|{\overrightarrow{OC}}|}}}|=\frac{{\sqrt{2}a}}{{\sqrt{2}a•\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
所以二面角C₁-BE-A₁的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．