Question

19．設(shè)x∈（0，$\frac{π}{2}$），則函數(shù)y=4sin²x•cosx的最大值為$\frac{8\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 利用同角的基本關(guān)系，將y轉(zhuǎn)化為y=4cosx-4cos³x，將t代換成cosx，寫出t的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)求得y的極大值，也是最大值．

解答 解：y=4sin²x•cosx=4（1-cos²x）cosx，
=4cosx-4cos³x，
設(shè)cosx=t，x∈（0，$\frac{π}{2}$），t∈（0，1），
∴y=4t-4t³，t∈（0，1），
y′=4-12t²，y′=0，
解得t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)t∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），y′＞0，y單調(diào)遞增，
當(dāng)t∈（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1），y′＜0，y單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，取極大值，也是最大值，
y的最大值為：$\frac{8\sqrt{3}}{9}$．
故答案為：$\frac{8\sqrt{3}}{9}$．

點評 本題考查三角恒等變換，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值和最大值，過程簡單，屬于中檔題．