Question

【題目】已知，函數(shù)，直線．

討論的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；

若函數(shù)的圖象與直線相交于，兩點(diǎn)，證明：．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，無交點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）證明見解析.

【解析】

根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，設(shè)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，結(jié)合極值與0的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合與l的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)行證明即可．

由題意，令，

則，

令，解得．

所以在上單調(diào)遞增，

令，解得，所以在上單調(diào)遞減，

則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，同時(shí)也是最小值

.

當(dāng)，即時(shí)，的圖象與直線l無交點(diǎn)，

當(dāng)，即時(shí)的圖象與直線l只有一個(gè)交點(diǎn)．

當(dāng)，即時(shí)的圖象與直線l有兩個(gè)交點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的圖象與直線l無交點(diǎn);時(shí),的圖象與直線l只有一個(gè)交點(diǎn);時(shí)的圖象與直線l有兩個(gè)交點(diǎn)．

證明：令，

，

，

，即在上單調(diào)遞增，

，

時(shí)，恒成立，

又，

，

，

即，

又

，

，，

在上單調(diào)遞增，

即．

，

，

．

，

即，則，

，

即，

即成立．