Question

11．斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為a的正三角形，側棱AA₁長為$\frac{3}{2}$a，它和AB、AC均為60°，斜三棱柱的全面積 為$\frac{3+4\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$．

Answer 1

分析 過點B作BM⊥AA₁于M，連結CM，在△ABM和△ACM中，證明ABM≌△ACM，推出AA₁⊥面BMC，求出BMC周長，求解S_側．然后求解全面積．

解答 解：過點B作BM⊥AA₁于M，連結CM，在△ABM和△ACM中，
∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=60°，MA為公用邊，
∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=90°，∴AA₁⊥面BMC，
即平面BMC為直截面，
又BM=CM=ABsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴BMC周長為2x$\frac{\sqrt{3}}{2}a$+a=（1+$\sqrt{3}$）a，且棱長為$\frac{3}{2}$a，
∴S_側=（1+$\sqrt{3}$）a•$\frac{3}{2}$a．2S_底=$\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$．
全面積為：$\frac{3+4\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$．
故答案為：$\frac{3+4\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$．

點評 本題考查棱柱的結構特征，全面積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．