Question

9．已知P（x，y）（其中x≠0）為雙曲線$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1上任一點，過P點向雙曲線的兩條漸近線分別作垂線，垂足分別為A、B，則△PAB的面積為（　�。�

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{8}{25}$
• D． 與點P的位置有關(guān)

Answer 1

分析 由題意，O，P，A，B四點共圓，∠APB=∠AOB，tan$\frac{1}{2}∠AOB$=2，sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，求出|PA||PB|，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，O，P，A，B四點共圓，∠APB=∠AOB，tan$\frac{1}{2}∠AOB$=2，sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，
設(shè)P（x，y），雙曲線的漸近線方程為y=±2x，則|PA||PB|=$\frac{|2x+y|}{\sqrt{5}}•\frac{|2x-y|}{\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$，
∴△PAB的面積為$\frac{1}{2}•$$\frac{4}{5}$•$\frac{4}{5}$=$\frac{8}{25}$．
故選C．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．