Question

16．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過(guò)點(diǎn)F₁且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為2，直線l：y=kx+m與橢圓交于不同的A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若在橢圓C上存在點(diǎn)Q滿足：$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OQ}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2^{2}}{a}$=2，又a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），分類討論：當(dāng)λ=0時(shí)，利用橢圓的對(duì)稱性即可得出；λ≠0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．與橢圓的方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量相等，代入計(jì)算即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2^{2}}{a}$=2，又a²=b²+c²，聯(lián)立解得a=2，b=$\sqrt{2}$．
故所求橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀）
當(dāng)λ=0時(shí)由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OQ}$知，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=0，A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，存在Q滿足題意，∴λ=0成立．
當(dāng)λ≠0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．
聯(lián)立橢圓得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
由△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-4）＞0解得m²＜1+4k²…（*）
∴x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{2m}{1+2{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，得（x₁+x₂，y₁+y₂）=（λx₀，λy₀），可得x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀，
∴x₀=$\frac{1}{λ}$•（-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$），y₀=$\frac{1}{λ}$•$\frac{2m}{1+2{k}^{2}}$，
代入到$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1得到m²=$\frac{{λ}^{2}}{4}$（1+4k²），
代入（*）式，由1+4k²＞0得λ²＜4，解得-2＜λ＜2且λ≠0．
∴綜上λ∈（-2，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、向量相等等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．