Question

5．已知遞增等差數(shù)列{a_n}滿足a₁•a₄=7，a₂+a₃=8．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n$＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由題意可得公差d＞0，由等差數(shù)列的性質(zhì)解得a₁=1，a₄=7，可得公差d=2，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求出b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{•a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 解：（1）遞增等差數(shù)列{a_n}，可得公差d＞0，
滿足a₁•a₄=7，a₂+a₃=8，
即有a₁+a₄=8，
解得a₁=1，a₄=7，（a₁=7，a₄=1舍去），
可得公差d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{1}}{4-1}$=$\frac{7-1}{3}$=2，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）證明：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{•a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
即有前n項(xiàng)和S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$，
即為S_n$＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，考查方程思想，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．