Question

4．已知命題p：函數f（x）=|x-a|+x在[a²-2，+∞）上單調遞增；命題q：關于x的方程x²-4x+8^a=0有解．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 由命題p寫出分段函數，結合函數的單調性列關于a的不等式求得a的范圍；由關于x的方程x²-4x+8^a=0有解，可得△≥0求得q為真命題的a的范圍．然后分別由p真q假和p假q真求出a的范圍，取并集得答案．

解答 解：由已知得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2x-a，x≥a\\ a，x＜a\end{array}\right.$，∴f（x）在[a，+∞）上單調遞增．
若p為真命題，則[a²-2，+∞）⊆[a，+∞），∴a²-2≥a，解得a≤-1或a≥2；
若q為真命題，△=4²-4×8^a≥0，即8^a≤4，解得$a≤\frac{2}{3}$．
∵p∨q為真命題，p∧q為假命題，∴p、q一真一假，
當p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}a≤-1\\ a＞\frac{2}{3}\end{array}\right.$或$\begin{array}{l}a≥2\end{array}$，即a≥2；
當p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}{-1＜a＜2}\\{a≤\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，即-1$＜a≤\frac{2}{3}$．
故實數a的取值范圍是（-1，$\frac{2}{3}$]∪[2，+∞）．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查復合命題的真假判斷，考查函數單調性的應用，是中檔題．