Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹．
（Ⅰ）證明數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的前n項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，再根據(jù)求和公式計算即可．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2{a}_{n}+{2}^{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
∵$\frac{{a}_{1}}{2}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=2ⁿ，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
故數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的前n項和S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2

點評 本題考查了數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的求和公式，屬于基礎題．