Question

17．已知a，b 為常數(shù)，a≠0，f（x）=ax²+bx，且f（2）=0，方程f（x）=x 有兩個相等的實數(shù)根
（1）求f（x） 的解析式
（2）是否存在m，n（m＜n），使f（x） 在區(qū)間[m，n]上的值域是[2m，2n]？如果存在，求出m，n 的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意和f（2）=0列出方程，由方程f（x）=x有兩個相等的實數(shù)根，化簡后由判別式等于0列出方程，求出a、b的值，即可得答案；
（2）由（1）和配方法求出函數(shù)的最大值，確定n的范圍，判斷出f（x）在[m，n]上為增函數(shù)，根據(jù)條件列出方程組，結(jié)合條件求m，n的值．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+bx，且f（2）=0，
∴4a+2b=0，即2a+b=0，①
∵方程f（x）=x有兩個相等的實數(shù)根，
即ax²+（b-1）x=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=（b-1）²=0，解得b=1，
代入①，解得a=$-\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$-\frac{1}{2}$x²+x；
（2）由（1）知，f（x）=$-\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
∵f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，
∴2n≤$\frac{1}{2}$，則n≤$\frac{1}{4}$，
又f（x）的對稱軸為x=1，
∴當n≤$\frac{1}{4}$時，f（x）在[m，n]上為增函數(shù)．
若滿足題設條件的m，n存在，則 $\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{m}^{2}+m=2m}\\{-\frac{1}{2}{n}^{2}+n=2n}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{m=0或m=-2}\\{n=0或n=-2}\end{array}\right.$，
∵m＜n≤$\frac{1}{4}$，∴m=-2，n=0，滿足定義域為[-2，0]，值域為[-4，0]．
由以上知滿足條件的m，n存在，m=-2，n=0．

點評 本題考查待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的單調(diào)性，以及存在性問題，考查方程思想，化簡、變形能力．