Question

5．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=|x+a|+|x|．
（Ⅰ）當a=1時，解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＜2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=1時，化簡f（x）=|x+1|+|x|．通關(guān)當x≥1，當0＜x＜1，當x≤0，分別求解不等式的解集即可．（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＜2恒成立，則f（x）在R上最小值應(yīng)小于2．利用絕對值的幾何意義，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=|x+1|+|x|．
當x≥1，得f（x）=2x-1，由f（x）≥2得x≥$\frac{3}{2}$，此時x$≥\frac{3}{2}$；
當0＜x＜1，得f（x）=1，此時顯然f（x）≥2無解；
當x≤0，得f（x）=1-2x，由f（x）≥2得x$≤-\frac{1}{2}$，此時x$≤-\frac{1}{2}$．
綜上，不等式f（x）≥2的解集為：$（-∞，-\frac{1}{2}]∪[\frac{3}{2}，+∞）$．
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＜2恒成立，則f（x）在R上最小值應(yīng)小于2．
由絕對值不等式得|x-a|+|x|≥|x-a-x|=|a|，則|a|＜2，解得-2＜a＜2，
從而a的取值范圍為：（-2，2）．

點評 本題考查函數(shù)恒成立條件的應(yīng)用，絕對值不等式的解法，幾何意義的應(yīng)用，考查計算能力．