15.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù),證明:函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù).

分析 根據(jù)題意,設(shè)-∞<x1<x2<0,那么0<-x2<-x1<+∞.由函數(shù)在(0,+∞)上的單調(diào)性可得f(-x2)>f(-x1),結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得f(x1)<f(x2);由函數(shù)單調(diào)性的定義即可得證明.

解答 證明:設(shè)-∞<x1<x2<0,那么0<-x2<-x1<+∞.
由于偶函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù),故有:f(-x2)>f(-x1
又根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得:f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2
綜上可得:f(x1)<f(x2);
故f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù).

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合問題,涉及函數(shù)單調(diào)性的證明,關(guān)鍵是運(yùn)用偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

練習(xí)冊系列答案
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10.設(shè)函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x},x∈(-∞,2]}\\{lo{g}_{2}x,x∈(2,+∞)}\end{array}\right.$,則滿足f(x)=3的x的值是(  )
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