Question

4．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，且所有棱長都相等．平面A₁BC₁∩平面ABC=l，則直線l與AB₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 如圖所示，直線l與AB₁所成角即為∠B₁AC．利用余弦定理，可得結(jié)論．

解答 解：如圖所示，直線l與AB₁所成角即為∠B₁AC．
設(shè)三棱柱的棱長為a，B₁A=B₁C=$\sqrt{2}$a，AC=a，
∴cos∠B₁AC=$\frac{2{a}^{2}+{a}^{2}-2{a}^{2}}{2•\sqrt{2}a•a}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴直線l與AB₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查直線l與AB₁所成角，考查余弦定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．