Question

7．已知f（x）=|x-1|+|x-3|．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）≤4；
（2）若f（x）＞m²+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x）的解析式，由f（x）≤4，分類討論求得它的解集．
（2）由（1）知f（x）的最小值為2，不等式f（x）＞m²+m恒成立，等價于2＞m²+m，由此求得m的范圍．

解答 解：（1）$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2x-4，x≥3}\\{2，\;\;\;1≤x＜3}\\{-2x+4，x＜1}\end{array}}\right.$，由f（x）≤4可得$\left\{\begin{array}{l}{2x-4≤4}\\{x≥3}\end{array}\right.$①，或1≤x＜3②，或$\left\{\begin{array}{l}{4-2x≥4}\\{x＜1}\end{array}\right.$③；
解①求得3≤x≤4；解③求得0≤x＜1．
把①②③的解集取并集，可得原不等式的解集為{x|0≤x≤4}．
（2）由（1）知f（x）的最小值為2，∴f（x）＞m²+m恒成立，等價于2＞m²+m，
即m²+m-2＜0，∴-2＜m＜1．

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．