Question

15．已知共面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=3，$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=2$\overrightarrow{a}$，且|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|．若對(duì)每一個(gè)確定的向量$\overrightarrow$，記|$\overrightarrow$-t$\overrightarrow{a}$|（t∈R）的最小值d_min，則當(dāng)$\overrightarrow$變化時(shí)，d_min的最大值為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． 2
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 根據(jù)向量的平行四邊形法則和三角形的面積公式以及平行四邊形的性質(zhì)可得b²+2c²=36，即可得到d=$\frac{1}{4}$c$\sqrt{16-{c}^{2}}$，利用基本不等式即可求出最值．

解答 解：如圖，設(shè)$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，
∵$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=2$\overrightarrow{a}$，
∴M為BD的中點(diǎn)，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$•3d•2=3d，
∵|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|，
∴AD=BD，
設(shè)AB=c，AD=b，
∴在?ABCD中，2[（AB）²+（AC）²]=AC²+BD²，
∴b²+2c²=36，①，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$•c•$\sqrt{^{2}-（\frac{c}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$•c•$\sqrt{^{2}-\frac{{c}^{2}}{4}}$，
將①代入可得，S_△ABD=$\frac{1}{2}$•c•$\sqrt{36-\frac{9{c}^{2}}{4}}$=$\frac{3}{4}$c$\sqrt{16-{c}^{2}}$，
∴3d=$\frac{3}{4}$c$\sqrt{16-{c}^{2}}$，
∴d=$\frac{1}{4}$c$\sqrt{16-{c}^{2}}$≤$\frac{1}{4}$$\sqrt{（\frac{16}{2}）^{2}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)c²=8時(shí)，取等號(hào)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的在幾何中的應(yīng)用，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，屬于難題