Question

2．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n+2，則f（a₂₀₁₆）的值為（　�。�

• A． 0
• B． 0或1
• C． -1或0
• D． 1

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n+2，n=1時，a₁=2a₁+2，解得a₁，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=2a_n-1．利用等比數(shù)列的通項公式可得a_n=-2ⁿ．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），可得f（x+2）=f（x），f（-x）=-f（x）．于是f（a₂₀₁₆）=f（-2ⁿ）=-f（2ⁿ）=-f（2）=-f（0）．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n+2，
∴n=1時，a₁=2a₁+2，解得a₁=-2．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+2-（2a_n-1+2），化為：a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2．
∴a_n=-2ⁿ．
∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x），f（-x）=-f（x）．
∴f（a₂₀₁₆）=f（-2ⁿ）=-f（2ⁿ）=-f（2）=-f（0）=0．
故選：A．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、等比數(shù)列的通項公式、函數(shù)的周期性與奇偶性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．