Question

5．已知銳角△ABC的外接圓O的半徑為1，∠B=$\frac{π}{6}$，則$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$的取值范圍為（3，$\frac{3}{2}+\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 由正弦定理把△ABC的邊a，c用含有A的代數(shù)式表示，再由三角形為銳角三角形求出角A的范圍，把$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$轉(zhuǎn)化為關(guān)于A的三角函數(shù)求最值．

解答 解：如圖，
設(shè)$|\overrightarrow{BA}|=c$，$|\overrightarrow{BC}|=a$，
∵△ABC的外接圓O的半徑為1，∠B=$\frac{π}{6}$，
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=2$，則a=2sinA，c=2sinC．
C=$\frac{5π}{6}-A$，
由$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{5π}{6}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，得$\frac{π}{3}＜A＜\frac{π}{2}$．
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=ca•cos$\frac{π}{6}$=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinAsin（$\frac{5π}{6}-A$）
=$2\sqrt{3}sinA（sin\frac{5π}{6}cosA-cos\frac{5π}{6}sinA）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A+3si{n}^{2}A$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A-\frac{3}{2}cos2A+\frac{3}{2}$=$\sqrt{3}sin（2A-\frac{π}{3}）+\frac{3}{2}$．
∵$\frac{π}{3}＜A＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}＜2A-\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，
則$\frac{\sqrt{3}}{2}＜sin（2A-\frac{π}{3}）＜1$．
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$∈（3，$\frac{3}{2}+\sqrt{3}$）．
故答案為：（3，$\frac{3}{2}+\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了三角函數(shù)最值的求法，是中檔題．