Question

14．在平行四邊形ABCD中，AC與DB交于點(diǎn)O，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$．
（Ⅰ）試用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{BD}$；
（Ⅱ）若E為DO的中點(diǎn)，$\overrightarrow{AE}$=$λ\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow$，求λ+μ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等，利用平面向量的線性表示，即可求出結(jié)果；
（Ⅱ）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算與線性表示，即可求出λ與μ的值．

解答 解：（Ⅰ）平行四邊形ABCD中，AC與DB交于點(diǎn)O，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，
所以$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，
$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$；
（Ⅱ）當(dāng)E為DO的中點(diǎn)時(shí)，$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DO}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DB}$=-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BD}$，
所以$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow$-$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow$；
又$\overrightarrow{AE}$=$λ\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow$，
所以λ=$\frac{1}{4}$，μ=$\frac{3}{4}$，
∴λ+μ=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與線性表示的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．