Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，拋物線y²=8x的焦點(diǎn)是該橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)，直線l：y=k（x+1）（k＞0）與橢圓C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$，求直線l的斜率以及弦長|AB|．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點(diǎn)，可得a=2，由離心率公式可得c，再由a，b，c的關(guān)系可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）將y=k（x+1）代入橢圓方程x²+4y²=4，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得斜率k，再由弦長公式可得弦長|AB|．

解答 解：（1）拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為（2，0），
即橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為（2，0），則a=2，
由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得c=$\sqrt{3}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）將y=k（x+1）代入橢圓方程x²+4y²=4，可得：
（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，
△=（8k²）²-4（1+4k²）（4k²-4）＞0恒成立，
x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
由線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$，
可得x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=-1，
解得k=±$\frac{1}{2}$，
由k＞0，可得k=$\frac{1}{2}$；
弦長|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{1-4×\frac{-3}{2}}$=$\frac{\sqrt{35}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率公式，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式及弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．