Question

13．已知圓C：（x+4）²+y²=4，圓D的圓心D在y軸上且與圓C外切，圓D與y軸交于A，B兩點(diǎn)，定點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，0）．
（1）若點(diǎn)D（0，3），求△APB的正切值；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求tan∠APB的范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案；
（2）設(shè)D（0，a），圓D半徑為r，可得圓D的方程，把A，B的坐標(biāo)用a，r表示，進(jìn)一步得到PA、PB的斜率，然后利用到角公式得到tan∠APB，根據(jù)r的范圍求得tan∠APB的范圍．

解答 解：（1）如圖，
$|CD|=\sqrt{|CO{|}^{2}+|OD{|}^{2}}=5$，且圓D與圓C外切，
此時(shí)A，B的坐標(biāo)分別為（0，0），（0，6），
PA在x軸上，PB斜率k=2，
∴tan∠APB=2；
（2）設(shè)D（0，a），圓D半徑為r，則（r+2）²=16+a²，①
A，B坐標(biāo)分別為（0，a-r），（0，a+r），
設(shè)PA、PB的斜率分別為k₁，k₂，則${k}_{1}=\frac{a-r}{3}，{k}_{2}=\frac{a+r}{3}$，
∴$tan∠APB=\frac{\frac{a+r}{3}-\frac{a-r}{3}}{1+\frac{a+r}{3}•\frac{a-r}{3}}=\frac{6r}{{a}^{2}-{r}^{2}+9}$，②
聯(lián)立①②得：tan∠APB=$\frac{6r}{4r-3}=\frac{3}{2}+\frac{9}{8r-6}$，
∵r∈[2，+∞），
∴tan∠APB∈（$\frac{3}{2}，\frac{12}{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了到角公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．