Question

10．某校從高一年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數學成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）求圖中實數a的值；
（2）若從數學成績在[40，50）與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生，求這兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10的概率．

Answer 1

分析 （1）由于圖中所有小矩形的面積之和等于1，能求出a．
（2）成績在[40，50）分數段內的人數為2人，分別記為A，B．成績在[90，100]分數段內的人數為4人，分別記為C，D，E，F(xiàn)．由此利用列舉法能求出這兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10的概率．

解答 解：（1）由于圖中所有小矩形的面積之和等于1，
所以10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1．
解得a=0.03．
（2）成績在[40，50）分數段內的人數為40×0.05=2，分別記為A，B．成績在[90，100]分數段內的人數為40×0.1=4，分別記為C，D，E，F(xiàn)．
若從數學成績在[40，50）與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生，
則所有的基本事件有：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F(xiàn)），
（B，C），（B，D），（B，E），（B，F(xiàn)），（C，D），
（C，E），（C，F(xiàn)），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)），共15種．
如果兩名學生的數學成績都在[40，50）分數段內或都在[90，100]分數段內，
那么這兩名學生的數學成績之差的絕對值一定不大于10．
如果一個成績在[40，50）分數段內，另一個成績在[90，100]分數段內，
那么這兩名學生的數學成績之差的絕對值一定大于10．
記“這兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10”為事件M，
則事件M包含的基本事件有：
（A，B），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)），共7種，
所以所求概率為P（M）=$\frac{7}{15}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．