Question

9．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)$f（x）=\frac{{n-{2^x}}}{{{2^{x+1}}+m}}$是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）當(dāng)$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$時(shí)，f（kx²）+f（2x-1）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出m，n的值即可；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷出函數(shù)f（x）遞減，問(wèn)題等價(jià)于$k＜\frac{1-2x}{x^2}$恒成立，設(shè)$g（x）=\frac{1-2x}{x^2}={（{\frac{1}{x}}）^2}-2•\frac{1}{x}$，令$t=\frac{1}{x}，t∈[{\frac{1}{3}，2}]$，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）在定義域?yàn)镽是奇函數(shù)，所以f（0）=0，∴n=1．
又由f（-1）=-f（1），∴m=2，檢驗(yàn)知，當(dāng)m=2，n=1時(shí)，原函數(shù)是奇函數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{{2^{x+1}}+2}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$，任取x₁，x₂∈R，設(shè)x₁＜x₂，
則$f（{x_2}）-f（{x_1}）=\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{1}{{{2^{x_2}}+1}}=\frac{{{2^{x_1}}-{2^{x{\;}_2}}}}{{（{{2^{x_1}}+1}）（{{2^{x_2}}+1}）}}$，因?yàn)楹瘮?shù)y=2^x在R上是增函數(shù)，
且x₁＜x₂，所以${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，又$（{{2^{x_1}}+1}）（{{2^{x_2}}+1}）＞0$，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），∴函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)．
因f（x）是奇函數(shù)，從而不等式f（kx²）+f（2x-1）＞0等價(jià)于f（kx²）＞-f（2x-1）=f（1-2x），
因f（x）在R上是減函數(shù)，由上式推得kx²＜1-2x，即對(duì)一切$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$，
有：$k＜\frac{1-2x}{x^2}$恒成立，設(shè)$g（x）=\frac{1-2x}{x^2}={（{\frac{1}{x}}）^2}-2•\frac{1}{x}$，令$t=\frac{1}{x}，t∈[{\frac{1}{3}，2}]$，
則有$g（t）={t^2}-2t，t∈[{\frac{1}{3}，2}]$，∴g（x）_min=g（t）_min=g（1）=-1，
∴k＜-1，即k的取值范圍為（-∞，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的奇偶性問(wèn)題，是一道中檔題．