Question

12．已知球的直徑PC=4，A，B在球面上，AB=2，∠CPA=∠CPB=45°，則棱錐P-ABC的體積為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意知，在棱錐P-ABC中，△PAC，△PBC都是等腰直角三角形，取PC的中點D，則PC垂直于面ABD，棱錐P-ABC的體積為兩個棱錐P-ABD和C-ABD的體積和，由此能求出棱錐P-ABC的體積．

解答 解：如圖所示，由題意知，在棱錐P-ABC中，△PAC，△PBC都是等腰直角三角形，
其中AB=2，PC=4，PA=AC=PB=BC=2$\sqrt{2}$．
取PC的中點D，則PC垂直于面ABD，D是球心，DA=DB=2，
∴棱錐P-ABC的體積為兩個棱錐P-ABD和C-ABD的體積和，
S_△ABD=$\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$，
∴棱錐P-ABC的體積V=$\frac{1}{3}$•PC•S_△ADB=$\frac{1}{3}$×4×$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查創(chuàng)新意識、應用意識，是中檔題．