Question

6．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，且點(diǎn)P（a_n，a_n+1）在直線y=x+1上，則$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}$=（　　）

• A． $\frac{2n}{n+1}$
• B． $\frac{2}{n（n+1）}$
• C． $\frac{n（n+1）}{2}$
• D． $\frac{n}{2（n+1）}$

Answer 1

分析 通過(guò)將點(diǎn)P（a_n，a_n+1）代入直線y=x+1，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，從而裂項(xiàng)可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：因?yàn)辄c(diǎn)P（a_n，a_n+1）在直線y=x+1上，
所以a_n+1=a_n+1，
又因?yàn)閍₁=1，
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，
所以S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
所以$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．