Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n對于任意n∈N^*恒成立，且a₁=1，a₃=2，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n+$\frac{1}{2}$b_n=1（n∈N*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_n•b_n，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n
（1）求T_n
（2）求滿足不等式$\frac{{T}_{n}}{1-{S}_{n}}$≤9的所有的n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的定義可得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，求出公差，即可得到通項公式，根據(jù)遞推關(guān)系可得數(shù)列{b_n}是以$\frac{2}{3}$為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，即可求出通項公式
（Ⅱ）（1）根據(jù)錯位相減法即可求出數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n
（2）先求出1-S_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，再根據(jù)不等式$\frac{{T}_{n}}{1-{S}_{n}}$≤9轉(zhuǎn)化為9+$\frac{2n+5}{4}$≥$\frac{5}{4}$•3n，再分別驗證即可求出n的值．

解答 解：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}滿足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n對于任意n∈N^*恒成立，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∵a₁=1，a₃=2，
∴2d=a₃-a₁=2-1=1，
∴d=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$（n+1），
∵數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n+$\frac{1}{2}$b_n=1，
當(dāng)n=1時，S₁+$\frac{1}{2}$b₁=1，即b₁=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)n≥2時，S_n-1+$\frac{1}{2}$b_n-1=1，
∴S_n+$\frac{1}{2}$b_n-（S_n-1+$\frac{1}{2}$b_n-1）=0
即3b_n=b_n-1，
∴數(shù)列{b_n}是以$\frac{2}{3}$為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=2•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
（Ⅱ）由b_n=2•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴S_n=$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴1-S_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∵c_n=a_n•b_n=（n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴T_n=2•（$\frac{1}{3}$）¹+3•（$\frac{1}{3}$）²+…+（n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{3}$T_n=2•（$\frac{1}{3}$）²+3•（$\frac{1}{3}$）³+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ+（n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
∴$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{3}$）¹+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ-（n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹=$\frac{1}{3}$+$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹=$\frac{5}{6}$-$\frac{2n+5}{6}$•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴T_n=$\frac{5}{4}$-$\frac{2n+5}{4}$•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∵$\frac{{T}_{n}}{1-{S}_{n}}$≤9，
∴$\frac{5}{4}$-$\frac{2n+5}{4}$•（$\frac{1}{3}$）ⁿ≤9•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴$\frac{5}{4}$≤（9+$\frac{2n+5}{4}$）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
即9+$\frac{2n+5}{4}$≥$\frac{5}{4}$•3n，
當(dāng)n=1時，左邊=$\frac{43}{4}$，右邊=$\frac{15}{4}$，成立，
當(dāng)n=2時，左邊=$\frac{45}{4}$，右邊=$\frac{45}{4}$，成立，
當(dāng)n=3時，左邊=$\frac{47}{4}$，右邊=$\frac{135}{4}$，故不成立，
綜上所述n的值為1，2

點評 本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式，以及錯位相減法求和，考查了學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題