Question

16．已知函數(shù)$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}（{x∈R，a∈R}）$．
（1）求證：f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）存在反函數(shù)f^-1（x），且f（x）是奇函數(shù)，若方程f^-1（x）=log₂（x+t）有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）證明f′（x）=$\frac{{2}^{x+1}ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}$＞0，即可證明f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求出反函數(shù)，利用方程，結(jié)合基本不等式，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 （1）證明：∵f′（x）=$\frac{{2}^{x+1}ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}$＞0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）解：∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（0）=a-$\frac{2}{1+1}$=0，
∴a=1，
由f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$得f^-1（x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$（-1＜x＜1），
∵方程f^-1（x）=log₂（x+t）有實(shí)數(shù)根，
∴$\frac{1+x}{1-x}$=x+t（-1＜x＜1），
∴t=（1-x）+$\frac{2}{1-x}$-2≥2$\sqrt{2}$-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1-$\sqrt{2}$時(shí)取等號，
∴t的取值范圍是[2$\sqrt{2}$-2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，正確變形是關(guān)鍵．