Question

16．已知$f（x）=sin（{2x-\frac{π}{6}}）-cos（{2x+\frac{π}{3}}）+a$
（1）把y=f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把所得圖象上所有點向左平行移動$\frac{π}{3}$個單位長度，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）y=g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上最大值與最小值之和為5，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用誘導公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式．
（2）利用正弦函數(shù)的圖象的定義域和值域，求得函數(shù)g（x）的最值，利用條件求得a的值．

解答 解：（1）把y=f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-cos（2x+$\frac{π}{3}$）+a=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-sin（$\frac{π}{6}$-2x）+a=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+a的圖象上所有點的橫坐標，
伸長到原來的2倍（縱坐標不變），可得y=2sin（x-$\frac{π}{6}$）+a的圖象，
把所得圖象上所有點向左平行移動$\frac{π}{3}$個單位長度，得到y(tǒng)=g（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）+a=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+a 的圖象，
故函數(shù)y=g（x）的解析式為 g（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+a．
（2）∵在$[0，\frac{π}{2}]$上，x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，∴g（x）∈[1+a，2+a]，
根據(jù)g（x）的最大值與最小值之和為5，∴1+a+2+a=5，a=1．

點評 本題主要考查誘導公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．