Question

10．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線l，與該拋物線及其準(zhǔn)線從上向下依次交于A，B，C三點(diǎn)，若|BC|=3|BF|，且|AF|=3，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（　�。�

• A． y²=2x
• B． y²=3x
• C． y²=4x
• D． y²=6x

Answer 1

分析 分別過A、B作準(zhǔn)線的垂線，利用拋物線定義將A、B到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合已知比例關(guān)系，即可得p值，進(jìn)而可得方程

解答 解：分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，
設(shè)|BF|=a，則|BC|=3a，|BD|=a，∴$\frac{DB}{BC}=\frac{1}{3}$，
在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+4a，
∴3|AE|=|AC|
∴3+4a=9，即a=$\frac{3}{2}$，
∵BD∥FG，∴$\frac{DB}{FG}=\frac{BC}{FC}$，$\frac{a}{p}=\frac{3a}{4a}=\frac{3}{4}$，解得p=2，
從而拋物線的方程為y²=4x．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義及其應(yīng)用，拋物線的幾何性質(zhì)，過焦點(diǎn)的弦的弦長關(guān)系，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，屬中檔題．