Question

1．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，B為其左支上一點，線段BF與雙曲線的一條漸近線相交于A，且（$\overrightarrow{OF}$-$\overrightarrow{OB}$）$•\overrightarrow{OA}$=0，2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OF}$（O為坐標(biāo)原點），則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 由題意，OA垂直平分BF，設(shè)F（c，0），B（m，n），運用點關(guān)于直線對稱的特點，由中點坐標(biāo)公式和垂直的條件解得m，n，代入雙曲線方程，化簡整理，結(jié)合離心率公式計算即可得到．

解答 解：由題意，OA垂直平分BF，
設(shè)F（c，0），B（m，n），
則$\frac{n-0}{m-c}$=-$\frac{a}$，且$\frac{1}{2}$n=$\frac{1}{2}（\frac{a}$c+m），
解得m=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{c}$，n=$\frac{2ab}{c}$．
將B代入雙曲線方程，$\frac{（{a}^{2}-^{2}）^{2}}{{c}^{2}{a}^{2}}-\frac{4{a}^{2}}{{c}^{2}}$=1，b²=c²-a²．
化簡整理可得，c²=5a²，
∴e=$\sqrt{5}$，
故選C．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查向量知識的運用，考查點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．