Question

18．直線l被雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1截得的弦長為3$\sqrt{2}$，且l的斜率為2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程為y=2x+t，代入雙曲線的方程，消去y，可得x的二次方程，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理、弦長公式，計(jì)算即可得到所求直線方程．

解答 解：設(shè)直線l的方程為y=2x+t，
代入雙曲線2x²-3y²=6，可得：
10x²+12tx+3t²+6=0，
設(shè)弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
△=144t²-40（3t²+6）＞0，
x₁+x₂=-$\frac{6t}{5}$，x₁x₂=$\frac{3{t}^{2}+6}{10}$，
可得弦長為$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{5}$•$\sqrt{\frac{36{t}^{2}}{25}-\frac{4（3{t}^{2}+6）}{10}}$=3$\sqrt{2}$，
解得t=±5．滿足判別式大于0．
則直線l的方程為y=2x±5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和應(yīng)用，考查直線方程和雙曲線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．