Question

2．若對任意的實數(shù)x，總存在y∈[2，3]，使得不等式x²+xy+y²≥k（y-1）成立，則實數(shù)k的最大值為3．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用判別式△≤0得到關(guān)于y的不等式，
再分離常數(shù)k，構(gòu)造函數(shù)，利用基本不等式求出k的最大值．

解答 解：∵x²+xy+y²≥k（y-1）對任意的x恒成立，
化簡得：x²+xy+y²-ky+k≥0對任意的x恒成立，
∴△=y²-4（y²-ky+k）≤0，
即3y²-4ky+4k≥0，y∈[2，3]，
∴4k（y-1）≤3y²，
∴4k≤$\frac{{3y}^{2}}{y-1}$；
設(shè)t=$\frac{{3y}^{2}}{y-1}$，其中y∈[2，3]；
則t=3•$\frac{{（y-1）}^{2}+2（y-1）+1}{y-1}$
=3[（y-1）+$\frac{1}{y-1}$+2]≥3•（2$\sqrt{（y-1）•\frac{1}{y-1}}$+2）=12，
當且僅當y-1=1，即y=2時“=”成立，
∴4k≤12，解得k≤3，
即k的最大值為3．
故答案為：3．

點評 本題考查了不等式恒成立問題，也考查了判別式的應用問題，是中檔題．