Question

4．在數(shù)列{a_n}中，a₃=12，a₁₁=-5，且任意連續(xù)三項的和均為11，則a₂₀₁₇=4；設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，則使得S_n≤100成立的最大整數(shù)n=29．

Answer 1

分析 將a_n+a_n+1+a_n+2=11中n換為n+1，可得數(shù)列{a_n}是周期為3的數(shù)列．求出a₂=-5，a₁=4，即可得到a₂₀₁₇=a₁，討論n為3的倍數(shù)或余1或余2，計算n的最大值，即可得到所求值．

解答 解：由題意可得a_n+a_n+1+a_n+2=11，
將n換為a_n+1+a_n+2+a_n+3=11，
可得a_n+3=a_n，
可得數(shù)列{a_n}是周期為3的數(shù)列．
a₃=12，a₁₁=-5，即有a₂=-5，a₁=11-12+5=4，
可得a₂₀₁₇=a_3×672+1=a₁=4；
當(dāng)n=3k，k為自然數(shù)，時，S_n=11k；
當(dāng)n=3k+1，k為自然數(shù)時，S_n=11k+4；
當(dāng)n=3k+2，k為自然數(shù)時，S_n=11k+4-5=11k-1；
使得S_n≤100成立，
由11k≤100，可得k的最大值為9，此時n=27；
由11k+4≤100，可得k的最大值為8，此時n=25；
由11k-1≤100，可得k的最大值為9，此時n=29．
則使得S_n≤100成立的最大整數(shù)n為29．
故答案為：4，29．

點評 本題考查了數(shù)列的周期性、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．